درسنامه آموزشی ریاضی (1) کلاس دهم هنرستان
پودمان 1- نسبت و تناسب
1-1- نسبتهای مستقیم
سال تحصیلی جدید، مسئلههای جدید، راهحلهای جدید
دبیر ریاضی وارد کلاس شد و پس از معرفی خود گفت: «سال جدید تحصیلی بر همهٔ شما مبارک باد! امیدوارم امسال، سالی پر از موفقیت برای شما باشد.» سپس از لزوم درس خواندن و یادگیری ریاضی برایمان گفت و در آخر، اضافه کرد: «امسال روش یادگیری متفاوتی داریم. شما خودتان باید مفاهیم ریاضی را در ذهنتان بسازید؛ این کار را هم به کمک یکدیگر و با اجرا کردن فعالیتهایی که برایتان در نظر گرفتهایم، انجام خواهید داد.» پس از اینکه او قوانین کلاس را برایمان توضیح داد و هنرجویان خودشان را معرفی کردند و دلیل انتخاب شاخهٔ فنی و حرفهای یا کاردانش را برای ادامه تحصیل توضیح دادند، گفت: «اجازه بدهید کارمان را شروع کنیم.»
شما در سالهای گذشته با اندازهگیری آشنا شدهاید. در ادامه، دو گیرهٔ کاغذ در اندازههای مختلف را به ما نشان داد و گفت: «طول گیرهٔ بزرگ 1/5 برابر طول گیرهٔ کوچک است.» سپس به هر یک از هنرجویان بهطور تصادفی یک گیره داد و گفت: «برای جلسهٔ آینده طول و عرض کتاب ریاضی، طول و عرض یک کاغذ $A4$، و طول چند شیء دیگر را در منزل با گیرهای که دارید اندازه بگیرید.» ظاهرا کاری ساده بود که در دورهٔ ابتدایی هم آن را انجام داده بودیم. با خودم گفتم: اگر همهٔ تکالیف ریاضی امسال به همین سادگی باشند، نمرهٔ ریاضیام 20 خواهد شد! اما در خانه وقتی خواستم اندازهگیریها را انجام دهم، متوجه شدم که گیرهام را در مدرسه جا گذاشتهام. به علی زنگ زدم تا ببینم او میتواند کمکی کند، ولی متوجه شدم اندازهٔ گیرهٔ او با اندازهٔ گیرهٔ من متفاوت است. البته علی راهحلی برای مشکل من پیشنهاد کرد.
فعالیت زیر به شما کمک میکند تا متوجه شوید راهحل علی چه بوده است.
فعاليت 1 (صفحه 9 کتاب درسی)
1) در جدول زیر، ستون سمت چپ اندازهای را برحسب گیرهٔ کوچک و ستون سمت راست همان اندازه را بر حسب گیرهٔ بزرگ نشان میدهد. این جدول را کامل کنید.
| $\frac{x}{y}$ | $y$ (طول برحسب گیرهٔ بزرگ) | $x$ (طول برحسب گیرهٔ کوچک) |
| $\frac{3}{2}$ $\frac{6}{4}$ $\frac{9}{6}$ |
2 4 6 |
3 6 9 |
2) با توجه به جدول، جاهای خالی زیر را پرکنید.
$\times x$ $\frac{2}{3}$ $y=$
مقدار طول شیء برحسب گیره بزرگ برابر است با $\frac{2}{3}$ گیره کوچک
$\times y$ $\frac{3}{2}$ $x=$
مقدار طول شیء برحسب گیره کوچک برابر است با $\frac{3}{2}$ گیره بزرگ
3) در زیر، نموداری رسم کنید که رابطهٔ بین اندازه بر حسب گیرهٔ بزرگ و اندازه بر حسب گیرهٔ کوچک را نشان دهد.
$y=\frac{2}{3}x$
$x=3\Rightarrow y=\frac{2}{\cancel{3}}\times \cancel{3}=2$
$x=6\Rightarrow y=\frac{2}{3}\times 6=\frac{12}{3}=4$
$x=9\Rightarrow y=\frac{2}{3}\times 9=\frac{18}{3}=6$
$x=0\Rightarrow y=\frac{2}{3}\times 0=0$
4) اگر طول کتاب $5\frac{1}{2}$ و عرض آن $3\frac{2}{3}$ گیرهٔ بزرگ باشد، به کمک نمودار بالا و رابطههای به دست آمده در (2) طول و عرض کتاب را بر حسب گیرهٔ کوچک پیدا کنید.
$y=\frac{2}{3}x\,\,\,,\,\,\,x=\frac{3}{2}y$
$=5\frac{1}{2}=\frac{11}{2}$ طول کتاب
$=3\frac{2}{3}=\frac{11}{3}$ عرض کتاب
$x\underset{\times \frac{3}{2}}{\overset{\times \frac{2}{3}}{\longleftrightarrow}}y$
$x=\frac{3}{2}\times \frac{11}{2}=\frac{33}{4}=8\frac{1}{4}$
$x=\frac{\cancel{3}}{2}\times \frac{11}{\cancel{3}}=\frac{11}{2}=5\frac{1}{2}$
فعالیت صفحهٔ قبل نشان میدهد که هرگاه دو مقدار با ضریب ثابتی با یکدیگر متناسب باشند، با استفاده از نمودارِ رابطهٔ بین آنها میتوان با داشتن مقدار یکی، مقدار دیگری را بدون ضرب یا تقسیم بهدست آورد. نسبتهای 1/5 به 1 یا 3 به 2 را میتوان با عدد کسری $\frac{3}{2}$ نشان داد. با توجه به جدول بالا میتوانیم بفهمیم که در مقابل هر 2 گیرهٔ بزرگ، 3 گیرهٔ کوچک و در مقابل هر 4 گیرهٔ بزرگ، 6 گیرهٔ کوچک داریم. این ارتباط را میتوان چنین نوشت:
$\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=K$
یا $3=2K$ و $6=4K$
$K$ نسبت طول گیرهٔ بزرگ به طول گیرهٔ کوچک را نشان میدهد که آن را ضریب تبدیل واحد یا در این فعالیت ضریب تبدیل طول با واحد گیرهٔ بزرگ به طول با واحد گیرهٔ کوچک مینامند.
مثال 1
الف) 250 سانتیمتر چند متر است؟
ب) 34 سانتیمتر چند متر است؟
پ) 0/01 سانتیمتر چند متر است؟
اگر طول شیئی برابر $A$ متر باشد، همین طول برابر $100A$ سانتیمتر است. نسبت $\frac{A}{100A}=\frac{1}{100}$ ضریب تبدیل سانتیمتر به متر است. برای داشتن درک بهتر به تساوی ظاهری زیر دقت کنید.
این تساوی به معنای آن است که اگر نسبت طول برحسب متر به طول برحسب سانتیمتر را تشکیل دهیم، ضریبی به دست میآید که با ضرب آن در طول برحسب سانتیمتر ، همان طول برحسب متر بهدست میآید. پس داریم:
الف) 250 سانتیمتر برابر با 2/5 متر است زیرا:
$\frac{1}{100}\times 250=2/5$
ب) 34 سانتیمتر برابر است 0/34 متر است زیرا:
$\frac{1}{100}\times 34=0/34$
پ) 0/01 سانتیمتر برابر با 0/0001 متر است زیرا:
$\frac{1}{100}\times 0/01=0/0001$
مثال 2
الف) 250 متر چند سانتیمتر است؟
ب) 0/4 متر چند سانتیمتر است؟
پ) $\frac{4}{7}$ متر چند سانتیمتر است؟
در این حالت، باید معکوس نسبت در مثال (1) را حساب کنیم. اگر طول جسمی برابر $A$ متر است، همین طول برابر $100A$ سانتیمتر است. نسبت $\frac{100A}{A}=100$ ضریب تبدیل متر به سانتیمتر است.
$100\times 250=25,000$ (الف
$100\times 0/4=40$ (ب
$100\times \frac{4}{7}=\frac{400}{7}$ (پ
مثالهای 1 و 2 نشان میدهند كه در محاسبهٔ ضریب تبدیل دو واحد به یکدیگر، اینکه کدام واحد را به کدام واحد میخواهیم تبدیل کنیم، مهم است و اگر جای واحدها را با هم عوض کنیم، ضریب تبدیل معکوس میشود. مثلاً، ضریب تبدیل متر به سانتیمتر، 100 است ولی ضریب تبدیل سانتیمتر به متر، $\frac{1}{100}$ است.
مثال 3
برای تهیهٔ 7 لیوان شربت، 5 لیوان آب را به 2 لیوان شربت غلیظ اضافه میکنیم. اگر بخواهیم با 6 لیوان شربت غلیظ، شربتی با همان مقدار شیرینی درست کنیم، چند لیوان آب باید به آن اضافه کنیم؟
این مسئله را میتوانیم به سه روش حل کنیم.
روش رسم شکل: اگر در برابر 2 لیوان (واحد) شربت غلیظ، 5 لیوان (واحد) آب نیاز داشته باشیم، به معنای آن است که در برابر هر 2 واحد شربت غلیظ، به 5 واحد آب نیاز داریم.
بنابراین، در برابر 6 لیوان شربت غلیظ (که 2 واحد 3 تایی است)، به 15 لیوان آب (که 5 واحد 3 تایی است) نیاز داریم؛ یعنی:
روش رسم نمودار: رابطهٔ این دو کمیت را میتوان با نمودار نشان داد.
برای رسم نمودار ابتدا دو نقطه $\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]$ (مبدأ) و $\left[ \begin{matrix} 5 \\ 2 \\ \end{matrix} \right]$ را به هم وصل میکنیم. خط $d$ نموداری است که رابطه بین این دو کمیت را نشان میدهد.
سپس از نقطهای به عرض 6 روی محور عمودی،خطی موازی با محور افقی رسم میکنیم تا خط $d$ را در نقطه $A$ قطع کند. از نقطهٔ $A$ خطی موازی با محور عمودی رسم میکنیم. طول محل برخورد این خط با محور افقی، تعداد لیوانهای آب مورد نیاز را نشان میدهد.
روش عملیات جبری: با توجه به اینکه تعداد لیوانهای شربت غلیظ و آب، کمیتهای متناسباند، این تبدیل را میتوان به شکل زیر نیز در نظر گرفت:
$\frac{5}{2}=\frac{x}{6}=K$
پس: $x=6K=6\times \frac{5}{2}=15$
یا
کار در کلاس 1 (صفحه 13 کتاب درسی)
1) آیا دو نسبت 42 به 88 و 6 به 11 دو نسبت مساویاند؟
بله؛ $K$ برابر است با ..................
خیر؛ نسبت 6 به 11 برابر است با نسبت 42 به $88$ و $K$ برابر است با $0/54$
2) آیا دو نسبت 2 به 5 و 10 به 25 دو نسبت مساویاند؟
بله؛ $K$ برابر است با ..................
خیر؛ نسبت 2 به 5 برابر است با نسبت .................. به ..................
3) در یک روزنامه عکسها با ابعاد $5\times 6$ چاپ میشوند. در مرحلهٔ صفحهآرایی تصمیم گرفته شد عکسها با طول 12 چاپ شوند. عرض عکسها چقدر باید باشد؟
عرض جدید ${}^{2}\cancel{12}\times \frac{5}{{{\cancel{6}}_{1}}}=10$
کمیتهای متناسبی که تا اینجا بررسی کردیم، همگی از یک جنس و یک واحد بودند. برای مثال، نسبت طول به عرض یک پنجره، نسبت بین دو طول است و هر دو با واحد یکسان متر یا سانتیمتر قابل اندازهگیری هستند یا نسبت مخلوط کردن شربت غلیظ و آب، نسبت بین دو حجم است و هر دو برحسب حجم یک لیوان قابل اندازهگیری هستند. ولی در زندگی روزمره با کمیتهای متناسبی سر و کار داریم که از یک جنس نیستند یا واحدهای اندازهگيری آنها یکی نیست. مثلاً برای ماشینی که با سرعت ثابت در حال حرکت است، مسافت پیموده شده با زمان سپری شده متناسب است. در محاسبهٔ نسبت بین مسافت طی شده و زمان سپری شده، مسافت از جنس طول است و با واحدهایی مانند متر اندازهگیری میشود؛ در حالی که زمان از جنس دیگری است و با واحدهایی مانند ثانیه اندازهگیری میشود. مثالی دیگر، قیمت میوههاست که متناسب با وزن آنهاست. در محاسبهٔ نسبت بین قیمت میوهها به وزن آنها، قیمت از جنس پول است و با واحدهایی مانند تومان اندازهگیری میشود؛ در حالی که وزن از جنس نیرو است و با واحدهایی مانند کیلوگرم اندازهگیری میشود. در این حالتها، مقدار نسبت، به واحدهای اندازهگیری برای هر کدام از کمیتهای انتخاب شده، بستگی دارد.
فعاليت 2 (صفحه 14 تا 15 کتاب درسی)
در میدان ترهبار، هر 3 کیلوگرم سیبزمینی 3000 تومان است.
1) نسبت قیمت سیب زمینی به وزن آن، برابر است با: 3000 تومان به 3 کیلوگرم سیبزمینی. نسبت قیمت سیبزمینی به وزن آن برابر است با 1000 تومان به 1 کیلوگرم سیبزمینی. این نسبت نشان میدهد که با 1000 تومان میتوان 1 کیلوگرم سیبزمینی خرید.
2) نسبت وزن سیبزمینی به قیمت آن ، برابر است با: 3 کیلوگرم سیبزمینی به 3000 تومان. نسبت وزن سیبزمینی به قیمت آن برابر است با 0/001 کیلوگرم سیبزمینی به 1 تومان. اين نسبت نشان میدهد که با 1 تومان میتوان 0/001 کیلوگرم سیبزمینی خرید.
3) برای پیدا کردن قیمت 5 کیلوگرم سیبزمینی، رابطهٔ زیر را کامل کنید.
5 کیلوگرم سیبزمینی = $x$ تومان
3 کیلوگرم سیبزمینی = 3000 تومان
$x=\frac{5\times {{\cancel{3000}}^{1000}}}{{{\cancel{3}}_{1}}}=5000$
4) نمودار رابطهٔ بین مقدار سیبزمینی و قیمت آنها را رسم کنید.
تومان $3kg\Rightarrow 3000$
تومان $1kg\Rightarrow 1000$
تومان $2kg\Rightarrow 2000$
$\frac{3000}{3}=1000$
5) شیب این خط چه چیزی را نشان میدهد؟
$\frac{y}{1000}=1000x$
$\frac{y}{1000}=\frac{1\cancel{000}}{1\cancel{000}}=x\Rightarrow y=1x\to 1000$
فعالیت 2 نشان میدهد كه نسبت قیمت سیبزمینی به وزن آن مقداری ثابت است و این نسبت نشان دهندهٔ آن است که قیمت 1 کیلوگرم سیبزمینی چند تومان است. برعکس، نسبت هر مقدار سیبزمینی به قیمت آن مقداری ثابت است و این نسبت نشان دهندهٔ آن است که با 1 تومان، چه مقدار سیبزمینب میتوان خرید.
مثال 7
نسبت ارزش هر پوند به دلار تقریبا برابر 3 به 4 است. 3.000 پوند چند دلار است؟
روش رسم شکل: اگر در برابر هر 3 واحدِ پوند، 4 واحدِ دلار داشته باشیم:
آنگاه در برابر 3 واحد 1.000 پوندی، 4 واحد 1.000 دلاری داریم؛ یعنی:
روش رسم نمودار: رابطهٔ بین این دو کمیت را میتوان با نمودار زیر نشان داد.
روش جبری: با توجه به اینکه ارزش دلار و ارزش پوند کمیتهایی متناسباند، نرخ دلار به پوند به شکل زیر است.
$\frac{4}{3}=k$
نرخ بالا ضریب تبدیل پوند به دلار است. برای بررسی درستی این مطلب، میتوانید به تساوی ظاهری زیر توجه کنید.
تساوی بالا به معنای آن است که اگر نسبت دلار به پوند را در مقداری پولِ برحسب پوند ضرب کنیم، حاصل، همان مقدار پول برحسب دلار است. بنابراین: $\frac{4}{3}\times 3,000=4,000$.
برعکس، نرخ تبدیل دلار به پوند با ضریب $\frac{3}{4}$ بهدست میآید و نشان میدهد هر 1 دلار برابر $\frac{3}{4}$ پوند است.
نمودار مثال 3، مثالی از نسبت است زیرا واحدهای دو محور افقی و عمودی (لیوان بهعنوان واحد اندازهگیری حجم) یکی هستند. ولی مثال 7 مثالی از نرخ بود زیرا واحد محور افقی (پوند) با واحد محور عمودی (دلار) تفاوت دارد.
کار درکلاس 2 (صفحه 19 تا 20 کتاب درسی)
1) نرخ مصرف بنزین به مسافت طی شده در دو ماشین مختلف به ترتیب $\frac{30}{320}$ و $\frac{27}{300}$ است. کدام ماشین باصرفهتر است؟
$=\frac{30}{320}=0/093$ نرخ 1
$=\frac{320}{30}=10/66$ نرخ جدید 1
$=\frac{27}{300}=0/09$ نرخ 2
به ازای $1km$ مسافت طی شده 0/09 لیتر بنزین مصرف شده باصرفهتر است.
$=\frac{300}{27}=11/11$ نرخ جدید 2
چون به از مصرف 1 لیتر بنزین $11/11km$ طی شده باصرفهتر است.
2) بلیتهای یک سینما در یک ساعت مانده به شروع فیلم، در هر دقیقه به میزان ثابتی به فروش میرسد. اگر این سینما 240 بلیت را در 16 دقیقه بفروشد، مقدار $\frac{240}{16}$ چه چیزی را نشان میدهد؟ سپس به کمک آن، تعداد بلیتهای فروخته شده در هر ساعت را بهدست آورید.
در 1 دقیقه تعداد 15 عدد بلیت فروخته میشود. $\frac{240}{16}=\frac{15}{1}\Rightarrow $
در 1 ساعت تعداد 900 عدد بلیت فروخته میشود. $\frac{1}{15}=\frac{60}{x}\Rightarrow x=15\times 60=900$
رابطهٔ بین کمیتها همیشه به گونهای نيست كه یکی مضربی از ديگری باشد. در فعالیت زیر، رابطهٔ بین دو کمیت را بررسی میکنیم که نمیتوان یکی را به شكل مضربی از ديگری نوشت.
فعاليت 3 (صفحه 20 تا 21 کتاب درسی)
علی و احمد با سرعت برابر در یک مسیر دایرهای دوچرخهسواری میکردند. علی زودتر از احمد دوچرخهسواری را شروع کرده بود؛ بهطوری که وقتی او 9 دور زده بود، احمد 3 دور زده بود.
1) جدول زیر را کامل کنید.
| تعداد دورهای احمد | تعداد دورهای علی |
| 0 | 6 |
| 3 | 9 |
| 6 | 12 |
| 9 | 15 |
2) عددهای ستون دوم را چگونه میتوانیم بر اساس عددهای ستون اول محاسبه کنیم؟
ستون اول + 6 = ستون دوم
3) اگر علی و احمد بهطور همزمان دوچرخهسواری را شروع کرده باشند و پس از مدتی علی 9 دور و احمد 3 دور زده باشند، دربارهٔ سرعت آنها چه میتوانستیم بگوییم؟
4) با در نظر گرفتن این حالت، جدول زیر را کامل کنید.
| تعداد دورهای احمد | تعداد دورهای علی |
| 0 | 0 |
| 3 | 9 |
| 4 | 12 |
| 5 | 15 |
5) عددهای ستون دوم را چگونه میتوانیم بر اساس عددهای ستون اول محاسبه کنیم؟
در حالت اول، مشاهده میشود که رابطهٔ بین تعداد دورهایی که علی زده با تعداد دورهایی که احمد زده است، بهصورت $A=k+B$ است. در این وضعیت $k=6$ و به ازای هر یک واحد افزايش در ستون اول، یک واحد افزايش در ستون دوم داريم. چنین رابطهای بین دو کمیت را یک رابطه جمعی مینامند.
در حالت دوم، این رابطه بهصورت $A=kB$ است. در این وضعیت، $k=3$ و به ازای هر یک واحد افزايش در ستون اول، 3 واحد افزايش در ستون دوم داريم. حالت اول یک رابطهٔ جمعی و حالت دوم را که رابطهٔ بین دو کمیت متناسب است، رابطهٔ ضربی مینامند.
مسئلهها (صفحه 23 کتاب درسی)
1) در نقشهٔ زیر، هر 2 سانتیمتر نشاندهندهٔ 5 کیلومتر است. دو نقطه را در روی نقشه انتخاب كنيد. فاصلهٔ آنها روی نقشه چقدر است؟ فاصلهٔ واقعی آنها از هم چقدر است؟
$2cm\to 5km$
$6cm\to ?km$ فرض میکنیم
$\frac{2}{5}=\frac{6}{x}\Rightarrow x=\frac{5\times 6}{2}=15km$
2) مينا برای تهيهٔ نوعی سس سالاد، به كتاب آشپزی مراجعه كرد. نسبت روغن به سركه در آن سس، 3 به 4 بود. مینا گفت: یعنی $\frac{3}{4}$ سس روغن است. آيا مينا درست متوجه شده بود؟ توضیح دهید.
$=3+4=7$ سرکه + روغن
$=\frac{3}{7}\ne \frac{3}{4}$ نسبت روغن به سس
3) عكاسی میخواهد عكسی را در ابعاد $35\times 25$ بزرگ کند و سپس آن را روی مقوایی به طول 55 سانتیمتر چاپ کند. عرض عكس بزرگ شده چقدر خواهد بود؟
$35\to 55$
$25\to ?$
$\frac{35}{55}=\frac{25}{x}\Rightarrow x=\frac{55\times 25}{35}=39/28$
4) علی هر ماه مقداری ثابت پول را پسانداز میکند. جدول زير مقدار پسانداز او را در چند ماه نشان میدهد.
| شمارهٔ ماه | مقدار پسانداز (هزار تومان) |
| 2 | 350 |
| 4 | 700 |
| 6 | 1,050 |
| 8 | 1400 |
| 10 | 1750 |
این جدول را به کمک رسم نمودار و از طریق جبری كامل كنيد.
$2\to 350$
$8\to x$
$\frac{2}{350}=\frac{8}{x}$
تومان $x=\frac{350\times 8}{2}=1400$
$2\to 350$
$10\to x$
تومان $\frac{2}{350}=\frac{10}{x}\Rightarrow x=\frac{350\times 10}{2}=1750$
2-1- نسبتهای معکوس
آن روز وقتی از مدرسه به خانه رفتم، متوجه شدم که پدر و مادرم مشغول برنامهریزی برای نقاشی خانه هستند.
پدر گفت: با نقاش صحبت کردم. گفت که 2 نفر را برای نقاشی خانهٔ ما میفرستد. او قول داده است كه 6 روزه کار را تمام کند.
مادر پرسید: 6 روز؟ چقدر زیاد؟ نمیتوانیم تعداد کارگرها را بیشتر کنیم تا زمان کمتری طول بکشد؟ مثلاً 3 کارگر بیایند؟
پدر جواب داد: چندان تفاوت نمیکند. اگر 3 نفر بیایند، چند روز کمتر میشود؟
من که درس نسبت و تناسب را خوانده بودم، به سرعت وارد بحث شدم و گفتم: «من حساب میکنیم.» و بعد، این تناسب را نوشتم:
$\frac{2}{6}=\frac{3}{x}$
پس از محاسبه به این نتیجه رسیدم که 3 کارگر نقاش، کارشان را 9 روزه تمام میکنند! چطور شد؟
یعنی کارشان خیلی بیشتر هم طول میکشد!
مادرم که کمی کم حوصله شده بود، گفت: مثلاً تو ریاضی یاد گرفتهای؟ تعداد نقاشها بیشتر میشود؛ آن وقت بهجای اینکه کار زودتر تمام شود، دیرتر هم تمام میشود!
من که خودم هم تعجب کرده بودم و نمیدانستم چه اتفاقی افتاده است، گفتم: لابد زیاد با هم حرف میزنند و کمتر کار میکنند!
فردای آن روز با سؤالی که در ذهنم ایجاد شده بود، به کلاس ریاضی رفتم و از دبیرمان سؤال کردم:
آیا تعداد نقاشهایی که یک ساختمان را رنگ میکنند با زمان اتمام کار، کمیتهایی متناسب هستند؟
دبیرمان جواب داد: بله.
با خود گفتم،پس چرا جوابی که من دیروز به پدر و مادرم دادم، منطقی بهنظر نمیآمد؟ بعد هم ماجرا را برای دبیرمان تعریف کردم. طبق معمول، او با طرح یک فعالیت، جواب من را داد.
فعاليت 4 (صفحه 25 کتاب درسی)
برای پر کردن مخزن آبی، 10 شیر آب یکسان بر سر لولهها کار گذاشته شده است. دو شیر آب وقتی بهطور کامل باز هستند، این مخزن در 8 ساعت پر میشود.
1) اگر 4 شیر آب، همزمان، بهطور کامل باز شوند، مخزن در چند ساعت پر میشود؟ دبیر لبخند زنان به من گفت: حواست باشد که شیرهای آب با هم حرف نمیزنند!
$\frac{2}{4}=\frac{8}{x}\Rightarrow x=\frac{4\times 8}{1}=16$
4 ساعت
2) اگر 8 شیر آب همزمان بهطور کامل باز شوند، مخزن در چند ساعت پر میشود؟
2 ساعت
3) رابطهٔ بین تعداد شیرهای باز آب و زمان پر شدن مخزن را توصیف کنید.
رابطه عکس (معکوس)
فعالیت 4 رابطهٔ بین دو کمیت متناسب را نشان میدهد که بر خلاف کمیتهایی که قبلاً با آنها آشنا شدهایم، با افزایش مقدار یکی از آنها، مقدار دیگری کاهش مییابد.
پس از انجام دادن این فعالیت گفتم: پس رابطهٔ تعداد نقاشها با تعداد روزهای کار یک رابطهٔ معکوس است؟
دبیرمان گفت: بله. جواب را پیدا کردی!
گفتم: حالا چطور باید تعداد روزهای کار را برحسب تعداد نقاشها پیدا کنم؟
دبیرمان گفت: فرض کن نقاشی، ساختمانی را در 12 روز رنگ میکند. اين نقاش در هر روز چه کسری از ساختمان را رنگ میکند؟
گفتم: جواب دادن به این سؤال آسان است. این نقاش هر روز $\frac{1}{12}$ کل خانه را رنگ میکند که در 12 روز همهٔ خانه رنگ کیشود.
دبیرمان پرسید: حالا اگر تعداد نقاشها 2 نفر باشد، چند روز طول میکشد تا کل ساختمان رنگ شود؟
جواب دادم: هر کدام روزانه $\frac{1}{12}$ خانه را رنگ میکند؛ پس با هم روزی $2\times \frac{1}{12}=\frac{1}{6}$ خانه را رنگ میکنند بنابراین، دو نفر با هم در 6 روز خانه را رنگ خواهند کرد.
دبیرمان گفت: حالا اگر تعداد نقاشها 3 نفر باشد، چند روز طول میکشد تا کل ساختمان رنگ شود؟
جواب دادم: هر کدام روزانه $\frac{1}{12}$ خانه را رنگ میکند؛ پس 3 نفر با هم، روزی $3\times \frac{1}{12}=\frac{1}{4}$ خانه را رنگ میکنند. بنابراین، 3 نفر با هم در 4 روز خانه را رنگ خواهند کرد.
دبیرمان گفت: میبینی که حاصل ضرب تعداد نقاشها در تعداد روزهای لازم برای تمام کردن نقاشی خانهٔ شما، مقدار ثابت 12 است. زیرا کل این کار، نیازمند 12 روز کار یک نقاش است و تعداد نقاشها را به هر نسبت افزایش دهیم، تعداد روزهای مورد نیاز به همان نسبت کاهش مییابد؛ به گونهای که حاصل ضرب تعداد نقاشها در تعداد روزهای مورد نیاز، عدد ثابت 12 شود.
وقتی دو كميت با هم رابطهٔ معكوس دارند، به جای اینكه نسبت بين آنها عدد ثابتی باشد، حاصل ضربشان عددی ثابت است. در مسئلهٔ تعداد نقاشها و روزهای کاری،
$1\times 12=2\times 6=3\times 4=12$
در مسئلهٔ نقاشها و روزهای کار، $K=2\times 6=12$ و داریم: $c=\frac{12}{3}=4$
برای درک بهتر رابطهٔ بین این دو کمیت، نمودار رابطهٔ بین آنها را رسم میکنیم.
کار درکلاس 3 (صفحه 28 کتاب درسی)
1) الف - دو كميت متناسب را نام ببريد كه با هم رابطهٔ معكوس داشته باشند.
تعداد قالی بافان
زمان اتمام بافتن یک فرش
ب- با در نظر گرفتن ارتباط اين دو كميت، مسئلهای طرح كنيد.
زهرا و خواهرش یک قالی 12 متری را در 30 روز میبافند. اگر مادرشان به کمک آنها بیاید این قالی چند روزه بافته خواهد شد؟
رابطه معکوس
زمان پایانی $\times $ عوامل پایانی = زمان نخست $\times $ عوامل نخست
$2\times 30=3\times x$
$60=3x\Rightarrow x=\frac{60}{2}=20$
30 روزه $\Rightarrow $ 2 نفر
20 روز $\Rightarrow $ 3 نفر
2) شمعی به طول 14 سانتیمتر را روشن میکنیم. این شمع در هر 5 دقیقه 1 سانتیمتر کوتاه میشود.
الف- جدول زیر را کامل کنید.
| 25 | 20 | 15 | 10 | 5 | 0 | زمان برحسب دقیقه |
| 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | طول شمع |
| 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | میزان کاهش طول شمع |
ب- با افزایش زمان، طول شمع چگونه تغییر میکند؟ با توجه به سطرهای اول و دوم جدول، آیا زمان و طول شمع کمیتهای متناسب معکوس یکدیگرند؟ چرا؟
طول شمع کاهش پیدا میکند.
بله $\uparrow \leftarrow $ زمان $\downarrow \leftarrow $ طول شمع
پ- با توجه به سطرهای اول و سوم جدول، چه رابطهای بین زمان و میزان کاهش طول شمع وجود دارد؟ این دو کمیت چه نوع رابطهای با هم دارند؟
مستقیم - رابطه مستقیم
مسئلهها (صفحه 29 تا 31 کتاب درسی)
1) جاهای خالی را پر کنید.
- نسبت دوکمیت متناسب که با یک واحد اندازهگیری نمیشوند نرخ نامیده میشود.
- دو کمیت $A$ و $B$ را در نظر بگیرید. اگر با افزایش یک واحد از $A$، یک واحد از $B$ افزایش یابد، دو کمیت رابطهٔ جمعی دارند.
2) دو مثال از نرخ بیان کنید.
قیمت یک کالا و وزن آن
مقدار مصرف بنزین و مسافت طی شده
3) اگر ضریب تبدیل واحد $A$ به $B$ عدد $\frac{2}{3}$ باشد، به سوالهای زیر پاسخ دهید.
الف- 4 واحد از $A$ معادل چند واحد از $B$ است؟
$A=4\Rightarrow 4\times \frac{2}{3}=\frac{8}{3}$
ب- 4 واحد از $B$ معادل چند واحد از $A$ است؟
$B=4\Rightarrow A\times \frac{2}{3}=4\Rightarrow A=\frac{3\times 4}{2}=6$
پ- ضریب تبدیل واحد $B$ به واحد $A$ را بنویسید.
$B\times \frac{3}{2}=A$
ت- رابطهٔ بین این دو واحد را با نمودار نشان دهید و به پرسشهای الف و ب از روی نمودار پاسخ دهید.
4) جدول زیر نوعی کالا را نشان میدهد که در سه اندازهٔ کوچک، متوسط و بزرگ بستهبندی شده است.
| نسبت قیمت به وزن | نسبت وزن به قیمت | قیمت (تومان) | وزن (کیلوگرم) | نوع |
| $\frac{1200}{1/5}=800$ | $\frac{1/5}{1200}=0/0012$ | 1,200 | 1/5 | کوچک |
| $\frac{3000}{4}=750$ | $\frac{4}{3000}=0/0013$ | 3,000 | 4 | متوسط |
| $\frac{10000}{15}=666/67$ | $\frac{15}{10000}=0/0015$ | 10,000 | 15 | بزرگ |
الف- جدول را کامل کنید.
ب- کدام بسته با صرفهتر است؟
بسته بزرگ
5) نمودار زیر رابطهٔ بین کمیت $A$ و کمیت $B$ را نشان میدهد:
الف- ضریب تبدیل $A$ به $B$ و $B$ به $A$ را بنویسید.
$\frac{A}{B}=\frac{5}{3}\Rightarrow A=\frac{5}{3}B\,\,\,,\,\,\,B=\frac{3}{5}A$
ب- 3 واحد از $A$ تقریباً معادل چند واحد از $B$ است؟
$A=3\Rightarrow B=\frac{3\times 3}{5}=1/8$
پ- 5 واحد از $B$ تقریباً معادل چند واحد از $A$ است؟
$B=5\Rightarrow A=\frac{5\times 5}{3}=8/3$
6) دو کمیت داده شده در هر قسمت با هم متناسب هستند. کدام دو کمیت مستقیم و کدام دو معکوس هستند؟
الف- وزن یک کالا و قیمت آن؛ مستقیم
ب- تعداد شیرهایی که یک حوض آب را پر میکنند و زمان پر شدن حوض؛ معکوس
پ- محیط دایرهها و طول شعاع آنها؛ مستقیم
ت- تعداد مشتریان در یک بانک و زمان انتظار آنها با فرض برابری زمان سرویس دهی؛ مستقیم
ث- وزن بستهٔ پستی و هزینهٔ ارسال بدون در نظر گرفتن هزینهٔ ثابت؛ مستقیم
ج- تعداد کارگران و زمان انجام کار برای تخلیهٔ بارهای یک انبار؛ معکوس
چ- درآمد حاصل از دریافت عوارضی در یک اتوبان و تعداد ماشینهایی که از آن عبور میکنند. مستقیم
3-1- واحدهای اندازهگیری انگلیسی: طول
ديشب در منزل ما شور و هيجانی برپا بود. پدرم قول داده بود که برای ما تلويزيونی نو بخرد. روز خرید تلویزیون فرارسيده بود. اعضای خانواده پشت سر هم از یکدیگر دربارهٔ تلویزیون سؤال میکردند؛ خواهرم پرسيد: «اندازهٔ تلويزيونی که میخواهيم بخريم، چقدر است؟» برادرم گفت: «هر چه بزرگتر، بهتر.» پدرم گفت: «پسر جان، اندازهٔ تلويزيون بايد با اندازهٔ اتاق متناسب باشد. یک تلويزيون 46 اينچی را كه نمیتوانيم در اين اتاق بگذاريم.» من هم كه نمیدانستم تلويزيون 46 اينچی چقدر است، آن قدر ذوق زده بودم که بدون اينكه سؤالی کنم فوراً رايانهام را روشن كردم و در اينترنت به جستوجو پرداختم. تصاوير زيبایی از تلويزيون پيدا كردم. تصاویر زیر سؤالهایی در ذهنم ایجاد کرد.
از پدرم پرسیدم: علامتی که در کنار 32 دیده میشود، چیست؟ گفت: یعنی اندازهٔ تلویزیون 32 اینچ است. گفتم: یعنی چقدر؟ گفت: الان کار دارم؛ بعداً. گفتم فقط یک سؤال: چرا قطر تلویزیون را نشان داده است؟ گفت: اندازهٔ تلویزیون را با قطرش بیان میکنند. اگر خودت کمی جستوجو کنی، پاسخ سؤالهایت را میتوانی پیدا کنی.
دوباره از پدرم سؤال کردم: «چرا اندازهٔ تلویزیونها را با همان سانتیمتر بیان نمیکنند؟ 32 اینچ یعنی چند سانتیمتر؟» پدرم خطکشی به دستم داد و گفت: «اینچ یکی از واحدهای اندازهگیری انگلیسی طول است. اگر دقیق به این خطکش نگاه کنی متوجه میشوی هر اينچ ($in$) چند سانتیمتر است.»
فعاليت 5 (صفحه 33 کتاب درسی)
1) با توجه به خطکشی که برحسب سانتیمتر و اینچ علامتگذاری شده، بگویید هر اینچ تقريباً چند سانتیمتر است؟
$1inch=2/54cm$
2) به دو خطکش زیر توجه کنید؛ فكر میکنید کدام خطکش با سانتیمتر و کدام یک با اینچ علامت گذاری شده است؟
3) طولهای مشخص شده را با توجه به هریک از خطکشها پیدا کنید.
| طول برحسب $cm$ | طول برحسب $in$ | ||
| $A$ | $2cm$ | $A$ | $*$ |
| $B$ | $3/5cm$ | $B$ | |
| $C$ | $6/5cm$ | $C$ | |
| $D$ | $D$ | ||
| $E$ | $E$ | ||
4) فکر میکنید استفاده از کدام واحد برای اندازهگیری طول سادهتر است؟ چرا؟
هنوز پاسخ سؤالهایم را پیدا نکرده بودم. پس دوباره به سراغ اینترنت رفتم و جدول زیر را پیدا کردم.
با دقت در جدول و شکلهای دو تلویزیون 32 اینچی متوجه شدم که مثلاً تلویزیونهای 32 اینچی ممکن است طولها و عرضهای مختلفی داشته باشند و در نتیجه، صفحههای آنها نیز ممکن است متفاوت باشند، ولی هنوز نتوانسته بودم بفهمم که برای اتاق پذیرایی ما تلویزیون با چه اندازهای مناسب است. به جستوجو ادامه دادم. جدول زیر را هم در زیر تصویر دیدم که کمک کرد بفهمم چرا پدرم میگوید تلویزیون 46 اینچی برای خانهٔ ما مناسب نیست.
کار درکلاس 4 (صفحه 35 کتاب درسی)
1) با توجه به جدول بالا (جدول فاصلههای توصیه شده)، حداقل فاصلهٔ مناسب بیننده از تلويزيون 46 اينچی چقدر است؟
$1/8m$
2) تصویر زیر یک اتاق نشیمن را نشان میدهد. با توجه به جدول بالا (جدول فاصلههای توصیه شده)، تلویزیون با چه اندازهای را توصیه میکنید؟
جدول دیگری پیدا کردم که میتوانست به من کمک کند تا متوجه شوم که تلویزیون مناسب برای خانهٔ ما باید چه اندازهای داشته باشد. با خودم گفتم: حتماً $inch$ همان اینچ است. ولی $feet$ یعنی چه؟ آیا واحد دیگری برای اندازهگیری طول است؟
فعاليت 6 (صفحه 36 کتاب درسی)
1) اندازههای داده شده در ستون دوم (از سمت چپ) جدول زیر را که برحسب اینچ هستند، به متر تبدیل کنید.
$4feet=48in$
$1ft=x=12in$
$\left. \begin{align} & 1ft=12in \\ & 1in=2/54cm \\ \end{align} \right\}\Rightarrow 1ft=12\times 2/54cm$
$1ft=30/48cm\Rightarrow 1ft=30/48\times 0/01$
$1cm=0/01m$
$1ft=0/3048m$
$in\rightleftarrows m$
$in\xrightarrow{\times 2/54}cm\xrightarrow{\times 0/01}m$
$48\times 2/54=1/2192$
$feet\xrightarrow{\times 0/3048}m$
$4\times 03048=1/2192$
| Max Size | Min Size | فاصله از تلویزیون برحسب متر | Viewing Distance in inches | Viewing Distance in feet |
| 32 | 19 | 1/2192 | 48 | 4 |
| 46 | 26 | 1/8288 | 72 | 6 |
| 63 | 32 | 2/4384 | 96 | 8 |
| 80 | 40 | 3/048 | 120 | 10 |
| 96 | 46 | 3/6576 | 144 | 12 |
| 112 | 52 | 4/2672 | 168 | 14 |
2) بین اعداد در ستون اول و اعداد در ستون دوم چه رابطهای وجود دارد؟
$feet\xrightarrow{\times 12}in\xrightarrow{\times 2/54}cm\xrightarrow{\times 0/01}m$
3) بین اعداد در ستون اول و اعداد در ستون سوم چه رابطهای وجود دارد؟
4) جاهای خالی را پر کنید:
الف) $2.54\times 0/01=0/0254$ متر = 1 اینچ
ب) 0/3048 متر = 12 اینچ = 1 فوت
5) اگر برای پخش فیلمهای آموزشی بخواهیم تلویزیونی در کلاس شما بگذاریم، فکر میکنید چه اندازهای مناسب است؟
ما هر روز در زندگی خود در خانه یا مدرسه از اندازهگیری استفاده میکنیم. در سالهای گذشته، با واحدهای اندازهگيری طول (متر، سانتیمتر، ميلیمتر، کیلومتر و غيره) آشنا شدهايد. امروزه غالب واحدهای اندازهگيری به دو سيستم استاندارد اندازهگيری بينالمللی ($SI$) و سيستم اندازهگيری انگليسی (مرسوم) تقسيم میشوند.
خواندنی
سيستم اندازهگيری انگليسی سیستمی بود که واحدهایی برای اندازهگيری در اختیار قرار میداد. در اين سيستم، از اعضای مهم بدن به عنوان واحد اندازهگيری استفاده میشد. برای مثال، در قديم مردم برای اندازهگيری فاصلههای كوتاه روی زمين از پاهايشان استفاده میکردند. مصریها، يونانیها و رومیها نيز اين واحد را بهکار میبردند.
واحدهای ديگر نيز با توجه به ويژگیهای بدنی پادشاه تعيين میشد.
برای مثال، یک يارد اندازهٔ دور كمر پادشاه و یک اينچ اندازهٔ اولين بند انگشت شست او بود. تقريباً هر 12 اينچ برابر با یک فوت است.
در زمانهای گذشته انسان برای اندازهگيری مسافتهای طولانی از گامهايش استفاده میکرد. هر دو گام برابر با 1 پيِس ($pace$) بود. رومیها عرض جادهها را با اين واحد تعيين میکردند (یک مايل برابر است با طول 1000 پيِس). حجم به كمک وسايل معمول در آشپزخانه مانند فنجان، قاشق غذاخوری يا سطل اندازهگيری میشد. واژهٔ گالن از واژهای قديمی گرفته شده است كه به معنای سطل بود.
با توجه به استاندارد نبودن واحدهای انگلیسی، در 1670 ميلادی، سيستم اندازهگيری دهدهی متریک پيشنهاد شد (در زبان فرانسه، متر معادل واژة اندازه است).
در حال حاضر، سه كشور در جهان از سيستم اندازهگيری انگليسی استفاده میکنند.
با مراجعه به اینترنت نام اين سه كشور را پیدا کنید.
واحد طول در سيستم $SI$، متر و در سيستم انگليسی، يارد است. با توجه به اينكه واحدهای استفاده شده در سيستم انگليسی قدیم طوری تعريف شده بودند كه افراد مختلف برای یک شیء اندازههای مختلفی پيدا میکردند، در طول زمان نياز به استاندارد كردن آنها احساس شد. برخی از واحدهای استاندارد شدهٔ طول در سيستم انگليسی عبارتاند از:
12 اینچ ($in$) = 1 فوت ($ft$)
3 فوت ($ft$) = 1 یارد ($yd$)
5.280 فوت ($ft$) = 1 مایل ($mi$)
ضریب تبدیل این واحدها به یکدیگر بهصورت زیر است.
کار درکلاس 5 (صفحه 38 کتاب درسی)
1- جدول زير را كامل كنيد.
| طول حدس زده شده برحسب واحدهای اندازهگيری انگليسی | طول حدس زده شده برحسب واحدهای اندازهگيری $SI$ | طول اندازه گرفته شده برحسب واحدهای اندازهگيری انگليسی | طول اندازه گرفته شده برحسب واحدهای اندازهگيری
$SI$ |
|
| عرض کتاب ریاضی | $in$ 4 | $cm$ 10 | $in$ ... | $cm$ 10/2 |
| طول کتاب ریاضی | $ft$ ... | $m$ ... | $ft$ ... | $m$ ... |
| طول پنجرهٔ اتاق | $yd$ ... | $m$ ... | $yd$ ... | $m$ ... |
| طول خودكاری كه از آن استفاده میکنید | $in$ ... | $mm$ ... | $in$ ... | $mm$ ... |
| طول اتاق | $ft$ ... | $m$ ... | $ft$ ... | $m$ ... |
| دور کمر خودتان | $in$ ... | $cm$ ... | $in$ ... | $cm$ ... |
2- از نظر شما، كار با كدام سيستم اندازهگيری راحتتر است؟ چرا؟
مسئلهها (صفحه 39 تا 41 کتاب درسی)
1) ورزشكاری در پرش سهگام به ترتيب 4 فوت و 6 اینچ، 4 فوت و 5 اينچ، 3 فوت و 11 اينچ پريد.
الف- اين ورزشكار روی هم چند فوت و چند اينچ پريده است؟
$\frac{\begin{matrix} {} & {{4}'} & {{6}''} \\ + & {{4}'} & {{5}''} \\ + & {{3}'} & 1{1}'' \\ \end{matrix}}{\begin{align} & 11\,\,\underrightarrow{+1}\,\,1{2}' \\ & 2{2}''\,\,\underrightarrow{ 12}\,\,1{0}'' \\ \end{align}}$
ب- او چند متر پریده است؟
$(12\times 12)+10=15{4}''$
پ- اگر ركورد اين رشته 12 فوت و 10 اينچ باشد، برای شكستن ركورد، چقدر بيشتر بايد میپريد؟
$(12\times 12)+10=15{4}''$
$154\times 2/54=391/16cm$
$\frac{391/16}{100}=3/91m$
2) قد شما چند سانتیمتر است؟ فرض میکنیم $170cm$
الف- چند متر است؟
$\frac{170}{100}=1/7m$
ب- چند اینچ است؟
$\frac{170}{2/54}=66/93in$
پ- چند فوت است؟
$\frac{66/93}{12}=5/57ft$
ت- چند یارد است؟
$\frac{5/57}{3}=1/86yd$
3- یک گردشگر از كشوری كه از سيستم اندازهگيری انگليسی استفاده میکند، به ايران آمده است. او در راه اصفهان، تابلوی زیر را میبيند: فرض کنید شما به عنوان مسئول سازمان جهانگردی میخواهید پیشنهاد بدهید فاصلهٔ شهرها را برحسب مايل نيز روی تابلوهای راهنمايی بنويسند.
حساب كنيد تا اصفهان چند مايل باقی مانده است؟
مایل $340km\to ?$
مایل $km\times 0/62=$
مایل $340\times 0/62=210/8$
4) در یک مسابقهٔ دو امدادی، هر تيم بايد 20 مايل بدود. اگر هر بازیکن مجاز باشد فقط 3 کیلومتر بدود، هر تيم چند دونده باید داشته باشد؟
کیلومتر $20\to ?$ مایل
$\Rightarrow $ کیلومتر $\times 1/61=$ مایل
$20\times 1/61=32/2$
11 نفر $\frac{32/2}{3}=10/73\Rightarrow $
5) یک دبیر هنر، یک بسته نوار تزيينی به طول 50 يارد خريد. هر دانشآموز برای تكميل پروژه به 0/8 متر نوار نياز دارد. 30 دانشآموز در اين پروژه شركت دارند. چند يارد نوار باقی میماند؟
$30\times 0/8=24$
یارد $\to $ متر
$24\times 1/09=26/16$
یارد باقی مانده $50-26/16=23/84$
6) سه وسيله نام ببريد كه بهطور رایج، اندازهشان با واحدهای انگليسی بيان میشود.
تلویزیون - یخچال - فریزر - موبایل
7) حسین هنرجوی رشتهٔ صنایع چوب است. او برای انجام پروژهٔ خود که ساخت صندلی است به الگوی زیر دست پیدا کرد. ابعاد و اندازههای روی شکل برحسب فوت و اینچ است. این اندازهها را برحسب سانتیمتر بهدست آورید.
${1}'-{6}''$
$(1\times 12)+6=1{8}''$
$18\times 2/54=45/72cm$
${1}'-{4}''$
$(1\times 12)+4=1{6}''$
$16\times 2/54=40/64cm$
${2}'-{8}''$
$(2\times 12)+8=3{2}''$
$32\times 2/54=81/28cm$
${3}'-{6}''$
$(3\times 12)+6=4{2}''$
$42\times 2/54=106/68cm$
8) در دریانوردی از واحدی به نام گره برای اندازهگیری سرعت شناورها در دریا استفاده میشود. سرعت یک گره برابر است با یک مایل دریایی بر ساعت. مایل دریایی با واحد مایل که از آن برای اندازهگیری طول در خشکی استفاده میشود فرق دارد. تحقیق کنید یک مایل دریایی با مایل (اندازهگیری در خشکی) چه رابطهای دارد.
خواندنی
در قدیم برای اندازهگیری سرعت کشتی، روی یک طناب به فاصلههای یک فوت از هم گرههایی میزدند. سپس طناب را به پشت کشتی یا قایق طوری میبستند که اولین گره روی سطح آب قرار گیرد و بقیه طناب به زیر آب میرفت. هر چه کشتی تندتر میرفت تعداد گرههای بیشتری از آب بیرون میآمد. تعداد گرههای روی آب بدون احتساب اولین گره، سرعت را اندازهگیری میکند. تعداد این گره را سرعت برحسب گره مینامند.
4-1- واحدهای اندازهگیری انگلیسی: جرم
برای شركت در مراسم عروسی پسرعمويم به همراه خانواده به شهرستان میرفتيم. در راه، پدرم از مادرم پرسید: «بالاخره مشخص نشد که چه هديهای میدهيم؟» مادرم گفت: «اجازه بدهيد برسيم! به بازار میرويم و قطعهای طلا میخریم.» پدرم پرسید: «اکنون طلا گرمی چند است؟» مادر گفت: «نمیدانم؛ اخبار ساعت 11 قيمت طلا را در هر روز اعلام میکند.» ساعت 11 رادیو را روشن کردیم. در پايان اخبار، گوينده راديو گفت:
امروز طلا در بازار جهانی به قيمت هر اونس 1.354 دلار معامله شد.
پدرم گفت: «یعنی چند؟» مادرم گفت: «الان برحسب گرم هم میگوید.»
در بازار تهران هر گرم طلای خام به قيمت 1.134.250 ریال معامله شد.
پرسیدم: «اونس دیگر چیست؟» پدرم گفت: « اونس یکی از واحدهای اندازهگيری جرم در سيستم انگليسی است ولی من هم دقيقاً نمیدانم چقدر میشود. در کتابهای درسی ما فقط واحدهای متریک ($SI$) آموزش داده میشد.» با افتخار گفتم: «ولی ما در فنی و حرفهای در كتاب رياضی واحدهای سيستم انگليسي را هم میخوانيم؛ جلسهٔ گذشته با واحدهای طول آشنا شدیم.» چون قرار بود چند روزی در شهرستان بمانيم، تكاليفم همراهم بود. به اميد آنكه توضيحی پيدا كنم، کاربرگ رياضیام را بيرون آوردم. ولی ...
پدرم پرسید: «خوب، هر اونس چقدر است؟» گفتم: «ننوشته است؛ بايد اين فعاليت را انجام دهم تا خودم متوجه شوم!»
فعالیت 7 (صفحه 43 کتاب درسی)
1) وزن یک سکهٔ 5000 ریالی تقریباً 0/36 اونس است. یک سکهٔ 5000 ریالی را در دست بگیرید و وزن آن را برحسب گرم تخمین بزنید.
$x\to x=\frac{0/36\times 28}{1}$
2) برحسب تخمين خود بگوييد 1 اونس تقريباً چند گرم است.
28 گرم
3) با مراجعه به اينترنت، وزن یک سکهٔ 5.000 ريالی را برحسب گرم پيدا كنيد.
4) با در نظر گرفتن وزن یک سکهٔ 5.000 ريالی، هر اونس تقريباً چند گرم است؟
28 گرم
برخی واحدهای اندازهگيری جرم در سيستم انگليسی عبارتاند از اونس، پوند.
16 اونس ($oz$) = 1 پوند ($lb$)
همانطور که گفتیم، در بعضی از کشورها از سيستم اندازهگيری انگليسی استفاده میشود. ما برای اينکه بتوانيم با مردم این کشورها ارتباط برقرار کنیم بايد بتوانیم واحدهای اندازهگیریمان را به هم تبديل كنيم. در این کتاب هر اونس را بهطور تقریبی برابر با 28 گرم در نظر میگیریم.
کار درکلاس 6 (صفحه 44 کتاب درسی)
1) فرض كنيد میخواهيد دستور پخت یک غذای اصيل ايرانی را برای دوستتان بفرستید و دوست شما اهل کشوری است که در آنجا از سیستم انگلیسی استفاده میشود. مقادير مواد مورد نياز را برحسب چه واحدهايی مینويسيد؟
2) ضریب تبدیل اونس به گرم را پیدا کنید.
3) توضيح دهيد برای تبديل اونس به پوند يا برعكس، از چه عملياتی استفاده میکنید؟
4) برای تبديل اونس به کیلوگرم از چه عملياتی استفاده میکنید؟
5) برای تبديل واحدها، جدول زیر را كامل كنيد.
| 0/035 اونس | 1 گرم |
| 457 گرم | 1 پوند |
| 35 اونس | 1 کیلوگرم |
| 0/457 کیلوگرم | 1 پوند |
مسئلهها (صفحه 45 تا 46 کتاب درسی)
برای انجام دادن تمرينهای اين بخش، با واحدهايی روبهرو میشويد كه در درس به آنها اشاره نشده است. با مراجعه به اينترنت، اين واحدها و واحدهای مشابه آنها را نیز در سایر سيستمهای اندازهگيری تشخيص دهيد. به كمک ضريب تبديل يا با استفاده از برنامههای نرمافزاری كه برای تبديل واحدها در اينترنت پيدا میکنید، اين واحدها را به هم تبديل كنيد. (نیازی به حفظ کردن این ضرایب نیست.)
1) پرستو مواد لازم زير را برای تهيهٔ كيک از یکی از دوستانش در خارج از ايران گرفت. به كمك اينترنت يا منابع ديگر، واحدهايی را كه نمیشناسيد، شناسايی كنيد و با انتخاب واحد مناسب و کامل کردن جدول زیر ، به پرستو كمک كنيد تا بتواند كيک خود را بپزد.
| مواد لازم | واحدهای سيستم انگليسی | واحدهای $SI$ |
| خرمای خرد شده | $1C$ | |
| کره | $\frac{1}{2}lb$ | |
| جوش شیرین | $1tsp$ | $5mL$ |
| نمک | $\frac{1}{2}tsp$ | $2/5mL$ |
| پودر کاکائو | $3tbsp$ | $45mL$ |
| آرد | $1\frac{1}{2}C$ | |
| تخممرغ | $2$ | |
| شکر | $\frac{2}{3}C$ | |
| وانیل | $1tsp$ | $5mL$ |
| گردوی خرد شده | $\frac{1}{2}C$ | |
| شکلات خرد شده | $\frac{3}{4}C$ | |
| شکر قهوهای | $1\frac{1}{3}C$ | |
| دمای پخت | ${{350}^{{}^\circ }}F$ | $176/66{}^{{}^\circ }C$ |
| اندازهٔ ظرف | $13inches\times 9inches$ |
2) پرستو در مقابل میخواهد مواد زير را برای تهیهٔ یک کیک برای دوستش بفرستد. با انتخاب واحد مناسب، جدول زير را كامل كنيد تا مواد لازم برای تهيهٔ کیک مورد نظرش را برحسب واحدهای اندازهگيری در سيستم انگليسی بفرستد.
| مواد لازم | واحدهای سيستم $SI$ | واحدهای انگليسی |
| توت فرنگی خرد شده | $750g$ | ... |
| شکر | $50g$ | ... |
| آرد | $250g$ | ... |
| بیکینگ پودر | $60ml$ | $\frac{1}{4}C$ |
| نمک | $2ml$ | $\frac{1}{2}tsp$ |
| کره | $120g$ | ... |
| تخممرغ | $1$ | ... |
| شیر | $160ml$ | ... |
| خامه | $250ml$ | ... |
| دمای پخت | $170{}^{{}^\circ }C$ | $338{}^{{}^\circ }F$ |
| اندازهٔ ظرف | ظرف گرد به قطر: $25cm$ | ... |
3) در سيستم انگليسی برای اندازهگيری دما از واحد فارنهايت استفاده میشود. رابطهٔ بين درجهٔ فارنهايت و درجهٔ سانتیگراد را با فرمول زير میتوان نشان داد:
32 + (میزان دما برحسب سانتیگراد $\times $ 1/8) = میزان دما برحسب فارنهایت (${}^{{}^\circ }F$)
لاله با مراجعه به یک سايت وضعيت دمای چند شهر را پيدا كرد. با توجه به جدول، دمای فرانكفورت و آديسآبابا را برحسب سانتیگراد محاسبه كنيد.
